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Domenico de Falco.

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 COSTRUZIONI GEOMETRICHE

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LUIGI DV



Numero di messaggi : 5
Corso di appartenenza : Meccanica Applicata alle Macchine
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LUIGI DELLA VOLPE
Data d'iscrizione : 21.03.11

MessaggioTitolo: COSTRUZIONI GEOMETRICHE   Dom Mag 15, 2011 10:23 am

Ragazzi abbiamo provato a rifare le costruzioni discusse in aula durante l'ultima lezione.

Consideriamo un moto rigido a cui per definizione corrisponde una sola coppia di polari. Dunque, partendo proprio da una coppia di "primitive", ovvero una polare fissa O e una polare mobile m che sono in moto relativo fra loro in modo tale che la mobile rotoli senza strisciare sulla fissa, allora si vuole determinare la traiettoria descritta da un punto P solidale al piano della polare mobile e quindi alla polare mobile stessa.
Per determinare tale traiettoria avremo bisogno di una costruzione geometrica, che in primo luogo necessita la determinazione sulla polare fissa e su quella mobile dei successivi punti Oi e Mi che si corrispondono nel rotolamento senza strisciamento della mobile sulla fissa. Dunque, a partire dal punto di contatto O=M si sceglie sulla polare mobile il successivo punto M1 che diverrà punto di contatto con la fissa(esso nella realtà si trova ad una distanza infinitesima da M).
Per trovare O1 sulla polare fissa, quindi, tracciamo una circonferenza di centro O=M e di raggio OM1 la cui intersezione con la fissa darà luogo proprio a O1.Dal momento, poi, che il punto P è un punto solidale alla polare mobile ciò vuol dire le sue distanze con un qualsiasi punto della mobile durate il moto relativo delle due primitive deve rimanere invariato. Nel caso particolare ciò si traduce nel dire che la nuova posizione assunta dal punto P ovvero P1 si deve trovare ad una distanza da O1 che è proprio pari alla distanza PM1. Quindi, in primo luogo si e' trovato che la nuova posizione P1 deve trovarsi su una circonferenza di centro O1 e raggio PM1.
La seconda condizione, poi, che ci consente di individuare P1 la si ricava dal fatto che l'angolo alfa formato da PM1 con la tangente t2 ad m in M1 deve essere uguale all'angolo formato da P1O1 con la tangente t1 ad O in O1 (in questo caso si ha che alfa=107°).

Pertanto, dall'imposizione delle condizioni su descritte si ricava la nuova posizione assunta da punto P durante il moto relativo di m su O, cioè P1:



N.B Le quote presenti sono del tutto arbitrarie.

Infine, dall'unione delle due posizioni trovate si potrà traccia una curva(nel caso particolare arbitraria) che rappresenti la traiettoria T descritta dal punto P che meglio si può visualizzare in questa rappresentazione CAD provata delle linee di costruzione:



Ovviamente facendo il medesimo ragionamento per tutti i successivi punti Oi e Mi allora troveremo le successive posizioni Pi del punto P trovando cosi' l' effettiva traiettoria descritta da P stesso.


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LUIGI DV



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LUIGI DELLA VOLPE
Data d'iscrizione : 21.03.11

MessaggioTitolo: Re: COSTRUZIONI GEOMETRICHE   Dom Mag 15, 2011 11:12 am

Consideriamo, ora, il caso particolare in cui le due polari, quella fissa O e quella mobile m, siano non più due curve qualsiasi bensì due circonferenze di centro rispettivamente C2 e C1. Anche in questo caso si vuole determinare la traiettoria di un generico punto P solidale alla polare mobile nel rotolamento senza strisciamento di quest' ultima sulla polare fissa.
Così come fatto nel caso precedente avremo bisogno di una costruzione geometrica, la quale necessiterà, per essere realizzata, della conoscenza ancora una volta dei successivi punti Oi e Mi sulla polare fissa e mobile rispettivamente e del fatto che, avendo a che fare nel caso particolare con due polari tangenti esternamente, il centro C1 della polare mobile si muoverà lungo una circonferenza di centro C2 e raggio R1+R2 (R1=121mm, R2=222mm, R1+R2=343mm).
Per trovare la nuova posizione di C1 ovvero C'1 dovremo preventivamente conoscere la nuova posizione di O cioè O1 in modo tale che l'intersezione fra R1+R2 passante per O1 e la circonferenza su cui si può muovere C1, dia luogo proprio a C'1.
A questo punto per trovare il punto O1 sulla fissa si procederà come in precedenza, ovvero tracceremo una circonferenza di centro O=M e raggio OM1, la cui intersezione con la polare fissa da O1.
Successivamente, dal momento che abbiamo scelto il punto P come punto solidale alla polare mobile, allora ancora una volta le sue distanze da ciascun punto di m dovranno essere invariate durante il moto relativo delle primitive ( PC1, PM1 ).
Per questo motivo, al fine di trovare la nuova posizione P, cioè P1, essa la si ricaverà come intersezione di due circonferenze:
- la prima di centro C1 e raggio PC1 (PC1=293,4);
- la seconda di centro O1 e raggio PM1 (PM1=279.1).
Quanto fatto ci consente di trovare la nuova posizione P1 ed inoltre garantisce che PC1=P1C'1 e PM1=P1O1, ovvero che durante il moto di rotolamento senza strisciamento di m su O il punto P muovendosi lungo la propria traiettoria non muti le proprie distanze dalla polare mobile a cui è solidale.



Cosi' come fatto in precedenza, unendo le due posizioni trovate di P si potrà tracciare una generica curva passante per entrambe che rappresenti la traiettoria T descritta dal punto P, come meglio si vede nella seguente immagine:



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v.fasano



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NomeCognome : Vincenzo Fasano
Data d'iscrizione : 30.03.11

MessaggioTitolo: Re: COSTRUZIONI GEOMETRICHE   Dom Mag 15, 2011 11:36 am

Consideriamo un ulteriore caso particolare rispetto a quelli precedenti, ovvero che il punto Q di cui si vuole conoscere la traiettoria non solo è un punto solidale alla polare mobile m ma è proprio un punto della stessa.Nella determinazione di tale traiettoria,prenderà il nome di "epicicloide" (quella di color rosso)la costruzione geometrica seguirà gli stessi passi descritti in precedenza:


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MessaggioTitolo: Re: COSTRUZIONI GEOMETRICHE   

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