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 Dimostrazione che i profili dei denti di una ruota sono profili coniugati

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AutoreMessaggio
pas182



Numero di messaggi : 4
Corso di appartenenza : Meccanica Applicata alle Macchine
NomeCognome : Pasquale Iodice
Data d'iscrizione : 22.03.11

MessaggioTitolo: Dimostrazione che i profili dei denti di una ruota sono profili coniugati   Sab Mag 28, 2011 3:58 pm


Vp1 - Vp2 = Vpr = Vpr|t + Vpr|n
Si vuole che la velocità relativa di P abbia componente solo lungo la tangente ai profili perché dire che c’è una componente in direzione normale vuol dire che le due velocità Vp1 e Vp2 non sono uguali tra loro e quindi se si sommano settorialmente può risultare che entrambe vanno una verso l’altra o in direzione opposta. In un caso si ha urto tra i denti e nell’altro distacco. Per annullare quindi la componente normale di Vpr è necessario che i denti siano profili coniugati nel moto definito dal rotolamento di una primitiva sull’altra. Ricordiamo quindi la proprietà dei profili coniugati che ci dice : la normale ai profili nel punto di contatto è uguale per i profili e passa per il centro di istantanea rotazione. Dimostriamo quindi che i profili delle ruote dentate sono profili coniugati. La normale ai profili deve passare per C e su questa normale c’è il punto di contatto P. La tangente ai profili sarà quindi ortogonale alla normale. Congiungiamo ora O1 con P e O2 con P. il punto P1 della ruota 1 che si trova in P nel moto assoluto ruota intorno a O1 con velocità (O1 – P) ^ w1 , allo stesso modo il punto P2 della ruota 2 che si trova in P nel moto assoluto avrà velocità (O2 – P) ^ w2. Consideriamo ora a partire da O2 la perpendicolare alla normale comune e a partire da O1 ancora la perpendicolare alla normale e chiamiamo con N1 e N2 i punti di interesezione. Teniamo presente che :
w2/w1 = r1/r2 = O1 C/O2 C
e siccome i triangoli O1 N1 C e O2 N2 C sono simili, allora posso scrivere :
O1 C/O2 C = O1 N1/O2 N2
Consideriamo ora i triangoli O1 N1 P e O2 N2 P,assegnati α1 e α2 allora posso dire che :
O1 N1/O2 N2 = O1 P cos α1 / O2 P cos α2
Quindi posso scrivere ora che:
Vp1 = Vp1|t + Vp1|n
Vp2 = Vp2|t + Vp2|n
Vpr = Vpr|t + Vpr|n
Vp1|n = Vp1 * cos α1
Vp2|n = Vp2 * cos α2
Esprimendo Vp1 e Vp2 in modulo , si ha:
Vp1 * cos α1 = w1 O1 P * cos α1
Vp2 * cos α2 = w2 O2 P * cos α2
Imponendo la condizione Vpr|n = 0 si ha:
w1 O1 P * cos α1 = w2 O2 P * cos α2
da qui realizziamo proprio il rapporto di trasmissione precedentemente ottenuto. In definitiva quindi realizzando i profili coniugati nel moto rigido piano definito dal rotolamento di una primitiva sull’altra otteniamo la condizione con la quale la componente della velocità relativa normale ai profili sia nulla in ogni istante del contatto. La componente tangenziale della velocità relativa di P sarà invece :
Vpr|t = w1 O1 P sen α1 – w2 O2 P sen α2 ≠ 0
E quindi si ha strisciamento tra i profili. C ‘è da dire inoltre che durante il moto delle ruote ci sarà un momento nel quale il punto P di contatto tra le due ruote coinciderà proprio con il centro di istantanea rotazione del moto relativo. In quell’istante la velocità relativa globale è nulla e di conseguenza anche la forza scambiata sarà nulla.
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