Vorrei iniziare scusandomi in anticipo per gli eventuali errori.
Sistemi Rigidi Dinamicamente EquivalentiNello studio del comportamento dinamico di un sistema meccanico può essere conveniente sostituire un corpo rigido con un insieme di masse concentrate rigidamente interconnesse, il quale sia dinamicamente equivalente al corpo in esame.
Definizione di Sistemi Rigidi Equivalenti:
Due sistemi S ed S’ si dicono dinamicamente equivalenti se, sottoposti rispettivamente a due sistemi di forze esterne staticamente equivalenti, hanno lo stesso moto.
TALE DEFINIZIONE SI RIFA’ AI CONCETTI ESPRESSI DAL PROFESSOREConsideriamo due corpi rigidi con due sistemi solidali sottoposti allo stesso sistema di forze esterne. Se i due corpi rigidi hanno moti equivalenti, allora i suddetti sistemi si dicono equivalenti.
Condizione necessaria e sufficiente affinché i due sistemi rigidi siano dinamicamente equivalenti è che essi abbiano:
1)Stessa massa: m=m’ (masse di S ed S’)
2) Baricentri coincidenti: G=G’ (baricentri di S ed S’) ∀t∈∆tM
3) Stessa matrice di inerzia rispetto allo stesso riferimento Gxyz: [IG ]=[IG’] (o più in generale tensori d’inerzia uguali).
In termini simbolici, tale enunciato si esprimerà come:
} = G(t')\\ &\text{ m } = m'\\ &\text{ [ I ] } = [ I' ] \end{cases} \qquad\forall\,t\, \mathcal {2}\, \Delta\,\Leftrightarrow \,\begin{cases} & \text P_s\,(t_0)= P_s'\,(t_0)\,\quad\forall s=1,\infty \\ & \text v_g\,+\,(G-P_s)\,\land\,\omega\,=\,v_g'\,+\,(G'-P_s')\,\land\,\omega' \end{cases}\qquad\forall\,t\,\mathcal {2}\,\Delta\,t_M "\bg_white \begin{cases} &\text{ G(t)} = G(t')\\ &\text{ m } = m'\\ &\text{ [ I ] } = [ I' ] \end{cases} \qquad\forall\,t\, \mathcal {2}\, \Delta\,\Leftrightarrow \,\begin{cases} & \text P_s\,(t_0)= P_s'\,(t_0)\,\quad\forall s=1,\infty \\ & \text v_g\,+\,(G-P_s)\,\land\,\omega\,=\,v_g'\,+\,(G'-P_s')\,\land\,\omega' \end{cases}\qquad\forall\,t\,\mathcal {2}\,\Delta\,t_M")
Il sistema, muovendosi nello spazio (quindi tridimensionale), avrà sei gradi di libertà, quindi, per determinare il moto ad ogni istante t di un intervallo
saranno sufficienti le equazioni cardinali della dinamica per S e S':
}}\\ & & \\ \frac{d\vec{K_G} }{\mathrm{d} t}=\,\vec{M^{(e)}} \end{matrix}\qquad\begin{matrix} m'\,\vec{a'}_G_' \,=\,\vec{R^{(e)}}\\ & & \\\qquad\frac{d\vec{K'_G}} {\mathrm{d} t}\,+\,\vec{v_G}\,\land\,m'\vec{v'_G_'} =\,\vec{M_G^{(e)}} \end{matrix} "\large \bg_white \begin{matrix} m\,\vec{a}_G\,=\,\vec{R^{(e)}}\\ & & \\ \frac{d\vec{K_G} }{\mathrm{d} t}=\,\vec{M^{(e)}} \end{matrix}\qquad\begin{matrix} m'\,\vec{a'}_G_' \,=\,\vec{R^{(e)}}\\ & & \\\qquad\frac{d\vec{K'_G}} {\mathrm{d} t}\,+\,\vec{v_G}\,\land\,m'\vec{v'_G_'} =\,\vec{M_G^{(e)}} \end{matrix}")
La seconda equazione per il corpo S' si giustifica osservando che il polo dei momenti è sempre il punto G, mentre G' lo immaginiamo, per ora distinto da G.
Si ricordi che nel caso di corpo rigido (o più in generale di moto rigido di un sistema), per la II Proprietà Fondamentale dei moti rigidi é:
\,\land\,\vec{\omega} "\large \bg_white \vec{v}_p___s =\vec{v}___G +(G-P_s)\,\land\,\vec{\omega}")
Ovvero l'atto di moto rigido ad ogni istante t è ottenuto dalla composizione di un atto di moto traslatorio con G e uno rotatorio intorno a G a velocità angolare
Avremo per i due sistemi:
\,\land\,\vec{\omega}\\\quad\vec{v}_p_'___s =\vec{v}___G_'_ +(G'-P_s)\,\land\,\vec{{\omega}'} "\large \bg_white \vec{v}_p___s =\vec{v}___G +(G-P_s)\,\land\,\vec{\omega}\\\quad\vec{v}_p_'___s =\vec{v}___G_'_ +(G'-P_s)\,\land\,\vec{{\omega}'}")
Poi dovrà essere:
Che è valida solo se:
e
Dalle equazioni cardinali della dinamica per S ed S' (scritte in precedenza) si ha:
Tale relazione deve valere qualunque sia il sistema di forze applicate, anche quando
}___G =0 "\small \bg_white \vec{M}^{(e)}___G =0")
e, nel caso di una traslazione, le velocità sono tutte uguali così come le accelerazioni
Essendo G=G' =>
S ed S' avendo, per ipotesi, lo stesso moto rotatorio si ha:
Da cui:
Sia un corpo rigido di massa m, posizione G del baricentro e sia [I] la sua matrice d'inerzia. Vogliamo trovare un sistema di forze equivalenti a quello a cui è sottoposto il corpo, per far si che ciò accada deve essere:
 \right \}=\Sigma =\{ (P_s,m_s) \right \}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases} & \text m'=\Sigma \,m_s =m \\ & \text G'=G \\ & \text[I']=[I] \end{cases} "\bg_white \Sigma'=\left \{ (P_s,m'_s) \right \}=\Sigma =\{ (P_s,m_s) \right \}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases} & \text m'=\Sigma \,m_s =m \\ & \text G'=G \\ & \text[I']=[I] \end{cases}")
Consideriamo il corpo rigido S che si muove di moto piano rispetto a una terna Ωξηζ:
=\,\frac{\Sigma_s \,m'_s\,(P'_s -G))}{m'}=\,\begin{cases} & \Sigma_s\,m'_s\,x's =0 \\ & \Sigma_s\,m'_s\,y's =0\\ & \Sigma_s\,m'_s\,z's =0 \end{cases} "\large \bg_white (G'-G)=\,\frac{\Sigma_s \,m'_s\,(P'_s -G))}{m'}=\,\begin{cases} & \Sigma_s\,m'_s\,x's =0 \\ & \Sigma_s\,m'_s\,y's =0\\ & \Sigma_s\,m'_s\,z's =0 \end{cases}")
dove:
 & & \\ & & \\ I_y_y=\Sigma_s\,m_s (x'_s\,^{2} +z'_s ^{2}) & & \\ & & \\ I_z_z=\Sigma_s\,m_s (x'_s\,^{2} +y'_s ^{2}) & & \\ & & \\ I_x_y=\Sigma_s\,m_s\, x'_s\, y'_s & & \\ & & \\ I_x_z=\Sigma_s\,m_s\, x'_s\, z'_s & & \\ & & \\ I_y_z=\Sigma_s\,m_s\, y'_s\, z'_s "\large \bg_white I_x_x=\Sigma_s\,m_s (y'_s\,^{2} +z'_s ^{2}) & & \\ & & \\ I_y_y=\Sigma_s\,m_s (x'_s\,^{2} +z'_s ^{2}) & & \\ & & \\ I_z_z=\Sigma_s\,m_s (x'_s\,^{2} +y'_s ^{2}) & & \\ & & \\ I_x_y=\Sigma_s\,m_s\, x'_s\, y'_s & & \\ & & \\ I_x_z=\Sigma_s\,m_s\, x'_s\, z'_s & & \\ & & \\ I_y_z=\Sigma_s\,m_s\, y'_s\, z'_s")
Nel caso in cui gli assi solidali del sistema del sistema solidale siano proprio quelli centrali di inerzia:
Un caso particolare è quello di prendere punti sull'asse equidistanti dal baricentro, saranno realizzate le equazioni sopra riportate.
