quesito sulla soluzione generale dell'equazione consistente Ax=b

Salve Professore, quando scriviamo la soluzione generale dell'equazione consistente x=Agb+(I-AgA)h, sappiamo che essa contiene tutte le soluzioni. Inoltre sappiamo che, in generale, di Ag ce n'è più di una. Le domando: nel caso la matrice A sia non singolare ciò implica che la soluzione è unica(analogamente a quanto visto nel caso di matrici quadrate)? E ciò vuol dire che in tal caso di matrice Ag ce n'è soltanto una ed è la A+? La soluzione diventa x=A+*b? Si può quindi affermare che quando una matrice A(mxn) è non singolare essa ha come unica pseudoinversa quella di Moore-Penrose?

mi correggo...non intendevo dire non singolare...intendevo dire che Rank(A)=n (numero di colonne della matrice)

ovviamente potrei dire "non singolare" solo nel caso di matrici quadrate, ma a quel punto definirei l'inversa piuttosto della pseudoinversa...la mia intenzione, invece, era di capire appunto se esistesse questa analogia anche per matrici non quadrate, e cioè le mie domande diventano: in una matrice A(mxn) quando Rank(A)=n la soluzione è unica(analogamente a quanto visto nel caso di matrici quadrate non singolari)? E ciò vuol dire che in tal caso di matrice Ag ce n'è soltanto una ed è la A+? La soluzione diventa x=A+*b? Si può quindi affermare che quando una matrice A(mxn) ha Rank(A)=n essa ha come unica pseudoinversa quella di Moore-Penrose? Mi scusi per la variazioni ma ho notato io stesso l'errore concettuale della domanda.

Innanzitutto grazie mille per la risposta. Per quanto riguarda tutta la prima parte da Lei espressa i concetti mi erano chiari. La mia criticità risiedeva nella seconda parte in quanto mi sono fatto ingannare(stupidamente) dal fatto che nell'esempio 2.3.21 formula 2.109 e 2.110 si riporta la soluzione direttamente con la pseudoinversa di Moore-Penrose(che comunque è anche una G-INVERSA). Quindi, mi corregga se sbaglio, la soluzione dell'equazione consistente Ax=b la posso SEMPRE scrivere usando una qualsiasi G-INVERSA. Nel caso io usi proprio la Moore-Penrose nella scrittura della soluzione e Rank(A)=n, l'unica cosa che "cambia" è che si annulla il secondo termine del membro a destra della 2.109, cioè (I-A+A)=0.

Quindi l'ultima frase dell'esempio 2.3.21, dopo la formula 2.110 che dice: "l'unicità della soluzione deriva dal fatto che la A+(MP-INVERSA) è unica" non è esatta, nel senso che l'unicità della soluzione deriva dal fatto che il Rango di A sia pari al numero di colonne della matrice A (Rank(A)=n). O mi sbaglio?

Grazie ancora

Forse quella frase intendeva dire che usando la MP-inversa la soluzione la posso scrivere(però solo nel caso in cui Rank(A)=n) come x=(A+)*b , e, stante l'unicità della A+(MP-INVERSA) ne deduco che la soluzione sia unica???