Quadrilatero articolato e teorema di Carnot

Buonasera a tutti, lavorando sul teorema di Carnot ho realizzato una animazione multimediale del manovellismo di spinta rotativa.



Siccome Geogebra non supporta nativamente i quadrilateri, ma consente soltanto di tracciare segmenti noti due punti, ho ricavato il valore delle coordinate polari dei punti B e C sfruttando il ben noto teorema di Carnot per i triangoli.

In particolare, assegnati alla manovella e alla biella rispettivamente le lunghezze a e b
B = (b x cos(ϑ), b x sin(ϑ));

mentre

C = (sqrt(b² - a² + a² x cos²(ϑ)) + a x cos(ϑ), 0);

Mi piacerebbe che qualcuno mi aiutasse a risolvere analiticamente le equazioni di chiusura del quadrilatero articolato per poter generalizzare l'animazione ad una struttura costituita da quattro lati.

Per il calcolo della lunghezza del ponte, che poi evidentemente corrisponde al valore dell'ascissa di C, ho adoperato il teorema di Carnot nella seguente maniera:

b² = a² + c² - 2ac x cos(ϑ);

e dunque

c² - 2ac x cos(ϑ) = b² - a²

completando il quadrato a sinistra [1] e sviluppandolo [2]

[1] c² - 2ac x cos(ϑ) + (a² x cos²(ϑ)) = b² - a² + (a² x cos²(ϑ))
[2] (c - a x cos(ϑ))² = b² - a² + (a² x cos²(ϑ))

ottengo c = sqrt(b² - a² + a² x cos²(ϑ)) + a x cos(ϑ)

Che è una funzione armonica dell'angolo ϑ per la quale è stata forzata la iniettività.

Penso che bisogni fare qualcosa di simile per risolvere le equazioni di chiusura. Chi ha già provato a svolgerle mi dia una mano please

molto carina la sua animazione anche se il meccanismo è un manovellismo di spinta rotativo.
conosco geogebra ma l'ho usato pochissimo. senza impegno cercherò di imparare ad usarlo un po meglio e vedere se puo essere uno strumento da condividere tutti per sviluppare applicazioni di questo tipo.
per quanto riguarda le sue domande... cerco di aggiornarmi un po (soprattutto sulla "forzatura della iniettività di una funzione armonica" che mi manca come concetto) ma mi piace molto questo modo di affrontare le cose.
... cosi di primo acchitto direi però che c(ϑ) non è armonica ma probabilmente solo periodica, o sbaglio ?

non ho capito se la tua intenzione iniziale fosse quella di trovare le posizioni estreme che assume il bilanciere prendendo in esame le due condizioni di allineamento biella-manovella(una volta sovrapposte e l'altra no).In quel caso il quadrilatero 'degenera'in un triangolo
per cui
(a+b)^2=(d^2+c^2-2dccosγ1)
(b-a)^2=(d^2+c^2-2dccosγ2)
che sottratte membro a membro ci danno a, da cui immediatamente ricavo b
se poi invece come suggerito dal prof, vogliamo vederlo come un manovellismo di spinta
mi trovo con le relazioni [1] e [2] ,ma se dalla [2] ricavi c, il termine con il coseno alla seconda potenza non è più presente,cmq le equazioni di chiusura le avevamo anche ricavate assegnando
α come coordinata indipendente(o libera),rotazione della manovella e ricavando β ed sc(spostamento del pistone a partire dalla posizione di punto morto)  in funzione di  α
per cui è possibile ottenere la funzione sc(α) che avrà un termine armonico ed un altro periodico,
con l'intera funzione periodica di 2π come si intuisce dal fatto che la stessa configurazione si ripete solo dopo un giro completo di manovella
Da questa relazione si ottengono due approssimazioni,dette rispettivamente di primo e secondo ordine,la prima semplicemente trascurando il termine sotto radice, la seconda sviluppandolo in serie di Maclaurin

Risalve a tutti!
@hawk's il mio intento è descrivere in funzione del solo angolo ϑ la posizione degli estremi dei segmenti che costituiscono il quadrilatero. Siccome il software non consente di esprimere vincoli troppo elaborati, questi devono quindi ridursi alle specifiche succitate. Il quadrilatero articolato degenere (quello che può assurgere al ruolo di meccanismo di manovellismo di spinta rotativa rappresentato in animazione) essendo strategicamente allineato agli assi nella direzione del segmento inteso quale ponte, ha tutte le caratteristiche geometriche e strutturali per ricevere le qualifica di triangolo. Allego una foto con lo scopo di chiarificare i miei intenti:

https://www.dropbox.com/s/fpo1y9024mum0hv/20150327_134038.jpg?dl=0 (1)

https://www.dropbox.com/s/ivpn43f08m33nmp/20150327_134045.jpg?dl=0 (2)

@Prof

Non ne sono certo, ma credo che la funzione periodica descritta da c(ϑ) possa fregiarsi anche della qualifica di "armonica", allego una ulteriore immagine così proviamo a ragionarci insieme.
Comunque Geogebra è un ottimo software, ma se lei sa usare il CAD, lavorare su software di livello inferiore le sembrerà deprimente...

https://www.dropbox.com/s/fieol68ay3dfshl/Immagine.png?dl=0 (3)


P.S.: è interessante notare come quando sono violate le condizioni del dominio, per cui a > b, la funzione assume una pericolosa discontinuità, circostanza che fisicamente equivale a dire che in quelle restrizioni il meccanismo non può essere assemblato

P.P.S.: @hawk's ok vedo che seppure in forma approssimata (è ovvio) sei comunque riuscito a ricavare le relazioni, mi scrivi le soluzioni approssimate in funzione dell'angolo?

molto bene ragazzi.
addiritttura anticipate delle considerazioni che dovremo fare e che anzi riuscite ad intuire pur, forse, non avendo a disposizione gli strumenti matematici opportuni.

Infatti la c(ϑ) non è armonica ma è solo periodica e cioè c(ϑ)=c(ϑ+p) per ogni ϑ.
Ma, e qui il vostro intuito ha funzionato, qualsiasi funzione periodica è esprimibile in serie di Fourier (e credo che questa non l'abbiate studiata nei vostri corsi di math) dove la serie si Fourier è una somma di sole funzioni armoniche con certe caratteristiche (in particolare aventi periodi sottomultipli interi di p)...

si vedrà che questo comporta espressioni approssimate di c(ϑ) e vc(ϑ) e ac(ϑ), ai termini di secondo ordine come si suol dire (e cioè alle armoniche di periodo p/2).
...e questo ha forti implicazioni tecniche: avrete forse sentito parlare del fatto che nei motori a 4 cilindri di una certa "importanza" è montata una coppia di alberi controrotanti di bilanciamento delle forze d'inerzia (I principio di DDF) di secondo ordine volgarmente detti contralberi... ma sono andato un po troppo avanti adesso...

@hacknowledge
la prima approssimazione è proprio acosϑ
la seconda la ottieni sviluppando il termine sotto radice(arrestandoti alla prima derivata) e usando le formule di bisezione
cos^2α lo puoi scrivere come 1/2 (1+cos2α) per cui riscrivendola anche in funzione del rapporto caratteristico di manovellismo o meglio del suo reciproco ,ottieni la seconda

Non ne ho mai sentito parlare, ma se è per questo non sapevo nemmeno che il diesel fosse gasolio... vabbè

che il motore diesel viene alimentato a gasolio,altrimenti il prof ti banna
prof, è lo stesso sistema che credo sempre volgarmente viene chiamato equilibratore
dinamico ?!?