ESEMPI DI MATRICI IN MATLAB

% Il file può essere eseguito in Matlab , tuttavia riporto sotto alcuni
% risultati delle operazioni matriciali, consiglio di copiarlo in uN M-file
%( MARIO ACANFORA VS UMBERTO BRANCACCIO.)

% DATA UNA MATRICE QUADRATA Cmn NON DIAGONALE IL PRODOTTO PER SE STESSA è UNA MATRICE
%QUADRATA
C=[2,0,0; 5,3,1; 0,1,4]
C*C
C^2
% ans =
% 4 0 0
% 25 10 7
% 5 7 17
%DATA UNA MATRICE QUADRATA DIAGONALE IL SUO QUADRATO è UGUALE A QUELLO
%DELLA DIAGONALE AL QUADRATO.

A=[2,0,0; 0,3,0; 0,0,2]
A*A
% ans =
%4 0 0
%0 9 0
%0 0 4
diag(A*A)% [4,9,4]

%TRASPOSTA DI A(MATRICE DIAGONALE),C (MATRICE QUALUNQUE), B (MATRICE SIMMETRICA).
A'
C'
B=[9,1,1;1,3,1;1,1,5]
inv(B)%
% 0.1167 -0.0333 -0.0167
%-0.0333 0.3667 -0.0667
%-0.0167 -0.0667 0.2167
%B' è simmetrica
B' %(trasposta) 9 1 1
%1 3 1
%1 1 5
B*B' %(prodotto della matrice quadrata simmetrica per la sua trasposta,
%83 13 15 si noti che non è uguale all'identica perchè non è
%13 11 9 ortogonale
%15 9 27

B*inv(B)%(prodotto della matrice quadrata simmetrica, per la sua inversa
% 1.0000 0.0000 0
% -0.0000 1.0000 0.0000
% -0.0000 0.0000 1.0000


%UNA MATRICE SIMMETRICA HA INVERSA COINCIDENTE CON LA TRASPOSTA,IL
%PRODOTTO è UNA MATRICE IDENTITA'

%DATE DELLE MATRICI Omn,Tnp PARTIZIONABILI IN SOTTOMATRICI M,A,R,I HO
%UNA MATRICE Cmp
M=[9,1,1; 1,3,1; 1,1,5]
A=[2,0,0; 0,3,0; 0,0,2]
R=[2,0,0; 5,3,1; 0,1,4]
I=[2,9,1; 5,2,1; 1,1,4]
Omn=vertcat(M,A) %l'istruzione affianca due matrici in verticale.
Tnp=horzcat(R,I) % l'istruzione affianca le due matrici in orizzontale.
Cmp=Omn*Tnp
%Cmp =

% 23 4 5 24 84 14
%17 10 7 18 16 8
% 7 8 21 12 16 22
% 4 0 0 4 18 2
%15 9 3 15 6 3
%0 2 8 2 2 8

%Data una matrice Ann elampda appartenente a C si dice autovalore della
% matrice A, se esiste un vettore x appartenente a An tale che x sia diverso da 0 e
%Ax = lampdax.
%Il vettore x si chiama autovettore della matrice A associato
%all'autovalore lampda.
%Da Ax = lampdax, si ricava (A - lampda I )x=0, essendo I la matrice
%identità.
%Affinche esista un x diverso da 0 che soddisfa questa relazione, la matrice
%(A - lampda I) deve essere singolare cioè:
%det(A -lampda I )=0 che da un polinomio caratteristico le cui radici
%sono gli autovalori.
%In Matlab gli autovalori vengono dati dalla funzione eig(A), gli
eig(C)
%4.6180
%2.3820
%2.0000
eig(A)
%2
%2
%3
[V,D]=eig(A)
[U,T]=eig(Cmp)
[F,G]=eig(B)
%[V,D]=eig(A) fornisce la matrice diagonale D, contenente
%gli autovalori sulla diagonale, e la matrice V, contenente gli
%autovettori (colonna per colonna) tali che A * V = V *D.

%V =
% 1 0 0
% 0 0 1
% 0 1 0
%D =
% 2 0 0
% 0 2 0
% 0 0 3


%U =

% -0.7603 -0.7927 -0.2977 -0.2967 + 0.3044i -0.2967 - 0.3044i 0.1141
% -0.4120 0.3399 0.0425 0.7529 0.7529 -0.0490
% -0.3671 -0.0320 0.8641 -0.2188 + 0.2077i -0.2188 - 0.2077i -0.6720
% -0.1377 -0.2066 -0.1011 -0.1590 - 0.3277i -0.1590 + 0.3277i -0.0576
% -0.3038 0.4596 -0.0963 0.0961 + 0.0197i 0.0961 - 0.0197i -0.0928
% -0.0788 -0.0328 0.3787 0.0463 - 0.1307i 0.0463 + 0.1307i 0.7218


%T =

% 66.9452 0 0 0 0 0
% 0 -20.3807 0 0 0 0
% 0 0 25.4355 0 0 0
% 0 0 0 0.0000 + 0.0000i 0 0
% 0 0 0 0 0.0000 - 0.0000i 0
% 0 0 0 0 0 0.0000

% A= V*D*V' A è una matrice quadrata simmetrica diagonale.
V*D*V'
%2 0 0
%0 3 0
%0 0 2


%Cmp=U*T*U' Cmp è una matrice quadrata non simmetrica.

U*T*U'
%28.1427 26.1422 11.6215 4.4364 23.6179 0.6123
%26.1422 9.0566 11.2803 5.1201 5.0920 2.8092
%11.6215 11.2803 27.9900 1.0267 5.6482 10.2376
%4.4364 5.1201 1.0267 0.6596 4.9831 -0.3857
%23.6179 5.0920 5.6482 4.9831 2.1098 0.9814
%0.6123 2.8092 10.2376 -0.3857 0.9814 4.0413
%B=F*G*F' è una matrice quadrata simmetrica non diagonale.
F*G*F'
%9.0000 1.0000 1.0000
%1.0000 3.0000 1.0000
%1.0000 1.0000 5.0000

Salve a tutti, ho provato a fare un esercizio su matlab rappresentando una matrice A quadrata di ordine 3 simmetrica come prodotto di A=Avt*Avl*Avt' dove la matrice Avl è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori "ai" della matrice A e la matrice Avt è una matrice ortogonale (Avt*Avt'=I) i cui elementi sono gli autovettori wi di A corrispondenti agli autovalori "ai" tali che gli autovalori "ai" soddisfino questa equazione A*wi=ai*wi:

>> ('Data A una matrice simmetrica di ordine 3')

ans =

Data A una matrice simmetrica di ordine 3

>> A=[1 2 3; 2 4 6; 3 6 8]

A =

1 2 3
2 4 6
3 6 8

>> ('Calcolo gli autovalori e autovettori di A')

ans =

Calcolo gli autovalori e autovettori di A

>> [Avt,Avl]=eig(A)

Avt =

0.3490 0.8944 0.2796
0.6981 -0.4472 0.5592
-0.6252 0 0.7805


Avl =

-0.3739 0 0
0 0 0
0 0 13.3739

>> ('Verifico se Avt è ortogonale')

ans =

Verifico se Avt è ortogonale

>> C=Avt*Avt'

C =

1.0000 0.0000 0
0.0000 1.0000 -0.0000
0 -0.0000 1.0000

>> ('Verifico se A=Avt*Avl*Avt')

ans =

Verifico se A=Avt*Avl*Avt

>> B=Avt*Avl*Avt'

B =

1.0000 2.0000 3.0000
2.0000 4.0000 6.0000
3.0000 6.0000 8.0000

>> O=A-B

O =

1.0e-015 *

-0.2220 0 -0.4441
0 0.8882 0
-0.4441 0 0

Ho avuto problemi nel risolvere su matlab il det(A-aI)=0 per ricavare gli "ai" autovalori e verificare se sono gli stessi della matrice A ricavati sopra con il programmino;
inoltre si nota che essendo A una matrice simmetrica reale i suoi autovalori "ai" sono reali.
Spero di non aver commesso errori, inoltre ho preso spunto nella scrittura del programmino da esercizi precedentemente risolti su questo forum essendo per me Matlab un programma nuovo.

bene mi sembra che almeno qualcuno sia interessato.
attenzione alle definizioni che date mi raccomando:
DATA UNA MATRICE QUADRATA Cmn.. Cmm?
UNA MATRICE SIMMETRICA HA INVERSA COINCIDENTE CON LA TRASPOSTA ???
DATA UNA MATRICE QUADRATA DIAGONALE IL SUO QUADRATO è UGUALE A QUELLO DELLA DIAGONALE AL QUADRATO. è uguale a una matrice diagonale i cui elementi sono i quadrati degli elementi della matrice di partenza

Salve a tutti; vi invito a leggere questa considerazione sulle proprietà della MP inversa.

Data la matrice A+, è possibile dire che la prima proprietà AA+ A=A 2.52 pag 46
implica la seconda A+ AA+=A+ ?? 2.53 pag 46
Infatti premoltiplicando e postmoltiplicando la 2.52 per A+
Si ottiene A+ (AA+ A)A+=A+ AA+ che utilizzando la proprietà associativa del prodotto risulta
(A+ AA+ )(AA+)=A+ (AA+)
e cioè
(A+ AA+ )(AA+)=A+ (AA+)
A+ AA+=A+
Ritenete questo ragionamento corretto?

Data una matrice B quadrata , essa si dice ortogonale quando BB^T=B^T B=I e BT coincide con la sua inversa B-1 .
Se però B non è quadrata , è ortogonale se si ha BB^T=I e in questo caso è BB^T≠B^T B.
Considerando anche il fatto che per matrici rettangolari non ha senso il concetto di inversione, è possibile evincere la correttezza dell'ultima affermazione.
Ho voluto condividere con voi questa osservazione perché in diversi libri di algebra lineare si parla di ortogonalità tra matrici solo in riferimento a m. quadrate. Ma questo è evidentemente è una limitazione di questo concetto.

devo dirle innanzitutto che le sue domande sono interessanti, pertinenti e ben poste. Poi che almeno la prima domanda mi mette abbastanza in difficoltà perché non mi ci sono mai trovato di fronte e la mia esperienza matematica in generale non è così grande.
Ineffetti seguendo i suoi passaggi non mi sembra ci sia nulla da eccepire.
Naturalmente poiché su tutti i testi la prima e la seconda proprietà della inversa generalizzata sono entrambe esplicitamente riportate e nessuno parla di questa dipendenza dev’esserci qualcosa che mi sfugge…
Tra l'altro nel paragrafo 2.3.13 per le inverse {1} e {1,2} si giunge alle formule 2.136 e 2.139 che dicono che non tutte le inverse {1,2} sono anche di tipo {1}.
Deve darmi un po di tempo perché possa occuparmene e sperare che giunga ad una conclusione convincente.

Per quanto riguarda la seconda domanda la sua affermazione è corretta. Infatti la definizione di matrice ortogonale è che BB^T=I. Se poi, in particolare B è quadrata e non singolare allora B^T=B^(-1). In ogni caso non so se è scorretto ciò che dicono i libri che ha citato di cui non dispongo: ineffetti da quello che lei mi dice si sono limitati a dare la definizione per le matrici quadrate.