Considerazioni sul calcolo della soluzione di norma minima di un'equazione consistente

Ragazzi vi posto la conversazione avuta con il prof. in merito all'esercizio proposto in aula.
Spero che sia d'aiuto anche a voi!

ddefalco: buongiorno
Mario Caruso: salve
Mario Caruso: sto lavorando all'esercizio proposto in aula la lezione precedente
Mario Caruso: dovevamo scrivere in matlab un m-file
Mario Caruso: volevo capire se il testo dell'esercizio era il seguente
Mario Caruso: dovevamo verificare che tra tutte le pseudoinverse di una matrice A, la pseudoinversa che gode della 1a e 4a proprietà è quella che ci fornisce Zmin
Mario Caruso: è corretto?
ddefalco: eh no aspetti
ddefalco: quella le fornisce la soluzione dell'equazione Ax=b consistente che ha norma minima
ddefalco: cioé
ddefalco: data l'equaz consistente Ax=b
ddefalco: questa ha in generale infinite soluz x date dalla formula in cui c'é la Ag
ddefalco: di tutte queste
ddefalco: quella che ha norma minima
ddefalco: è Y=A(1,4)*b
ddefalco: scusi
ddefalco: x=A(1,4)*b
Mario Caruso: ok è chiaro
Mario Caruso: quindi assegniamo una generica matrice
Mario Caruso: verifichiamo che l'equazione Ax=b è consistente
ddefalco: veramente
Mario Caruso: e poi procediamo al calcolo della pseudoinversa con un nostro algoritmo e magari possiamo anche fare un confronto con il valore fornito da matlab
ddefalco: è al contrario
ddefalco: Assegnata un'equazione nell'incognita x_vett
ddefalco: messa nella forma
ddefalco: A*x_vett=b
ddefalco: dimostrare che tutte le soluz. possibili sono date da
ddefalco: x_vett=Ag*b+(I-AgA)h_vett
ddefalco: e, di tutte queste, verificare che quella con espressione
ddefalco: x_vett=A(1,4)*b
ddefalco: ha la norma più piccola di tutte
Mario Caruso: capito
ddefalco: (al variare delle Ag e di h)
Mario Caruso: in effetti il mio approccio era sbagliato anche perchè matlab vuole numeri
ddefalco: no il punto è che matlab
ddefalco: le da direttamente la A+ e no una Ag qualsiasi
ddefalco: e la A+ è gia di per se una A(1,4)
Mario Caruso: infatti
Mario Caruso: quindi al max posso fare un confronto con una A(1,4) creata da me e la A+
ddefalco: quindi lei deve trovare il modo di scrivere una Ag qualsiasi che non sia una A(1,4)
Mario Caruso: implementata in matlab
ddefalco: esatto
ddefalco: questo credo lo possa fare
ddefalco: con quell'espressione della Ag in funzione di quelle matrici arbitrarie K, L, M, N
Mario Caruso: si la Ag ovviamente la costruiamo con il metodo studiato a lezione
ddefalco: esatto
Mario Caruso: ok prof la ringrazio
Mario Caruso: e comincio a lavorarci con i miei colleghi

Cari colleghi vi posto di seguito gli algoritmi elaborati riguardo la risoluzione di un sistema del tipo Ax=b
Il lavoro è stato svolto da: Caruso Mario, Giordano Vincenzo Donato, Piermarini Marco

I 2 listati MATLAB li scaricate [cliccando qui]

Il primo algoritmo è per la soluzione di sistemi consistenti per i quali m<=r

Il secondo analizza il caso di sistemi inconsistenti per i quali si cerca la soluzione di norma minima che rende minima, a sua volta, la norma Z(x)=||Ax-b||^2

Ovviamente queste sono alcune delle molteplici strade da seguire per pervenire alla soluzione!

Cordiali saluti

Cari ragazzi,

innanzitutto vi ringrazio per il lavoro che avete svolto e per averlo postato sul forum.

Listato n.1
Ho provato a farlo girare sotto Matlab ponendo m=3, n=5 r=2, ma va subito in errore per via del rango.

Listato n.2
gira bene. Andrebbe commentato di più ogni singola uscita. In ogni caso poi mi leggerò i commenti nel listato.

Saluti.

il primo listato per m=3 n=5 e r=2 va in errore perchè non è rispettata la condizione di consistenza del sistema che ci porta a scrivere la relazione m<=r (pag.45 nota n°1 del libro di dinamica analitica)

ineffetti in quella nota, come è evidente, sono invertite le posizioni di m (numero di equazioni) ed r (rango ovvero numero di equazioni linearmente indipendenti). Cioè, affinché il sistema sia consistente, il numero di equazioni linearmente indipendenti può al più essere m se m<=n oppure al più essere r essendo per n< m sicuramente r<=n< m.

In ogni caso, mi pare che il listato n.1 proposto non gira nemmeno se si pone m=3, n=5, r=4.

Sto comunque effettuando io stesso delle correzioni a tale listato.
Potete scaricarne l'ultimo aggiornamento sempre [cliccando qui] e verificando l'orario a cui è stato generato il file per capire se ho effettuato correzioni rispetto alla vers. precedente
Vi anticipo ciò che ho riscontrato finora:

• Le matrici W e V, così come sono generate, non sono ortogonali. Vanno rese tali con l'istruzione orth di matlab. Consultando l'help, potete capire cosa fa quest'istruzione e cercare anche di capire in che modo ci riesce.
  

A risentirci, saluti.

ho completato la revisione dell'esercizio che avete proposto (con un bellissimo scambio di ruoli avete proposto voi un esercizio ed io ne ho dato una soluzione).

Vi invito a studiarvelo bene, prima lanciando sotto MATLAB il listato 1 (che fa uso di una routine esterna di nome proprieta.m che trovate nel file .zip da scaricare [cliccando qui]) e poi studiando il listato nell'editor di MATLAB.

Confrontatevi tra di voi e con me sul forum per eventuali errori, o chiarimenti o, meglio ancora, elaborando il listato per risolvere altri problemi.

Saluti.

So che è banale come considerazione, ma guardando il listato manca un controllo all'inizio sulla positività di m, n e r.
Premetto che non ho ancora lanciato il programma e non so se matlab fa già questo controllo in automatico.
Comunque il grosso del lavoro so che è tutt'altro, quindi riprendo a leggere il listato

Salve a tutti!
Innanzitutto volevo ringraziare il prof. ed i miei colleghi per l'immane lavoro svolto, che senz'altro aiuterà me e gli altri nella comprensione delle proprità delle matrici inverse e della consistenza dei sistemi di equazione.
Volevo solo fare una considerazione del listato: ad un certo punto il programma genera una matrice diagonale D, di ordine pari al rango assegnato, che servirà a verificare la decomposizione in valori singolari della matrice A; quando avviene l'operazione, viene messo a video che gli elementi di D sono interi, ma in realtà ciò non si verifica.
Fermo restando che ciò non altera la bontà dell'algoritmo, volevo chiedere perchè è stata abbandonata la precedente istruzione (che figura nei commenti) per la generazione di una matrice diagonale con elementi interi.
Grazie.

si, le rispondo io che ho fatto la variazione.
Ineffetti non c'era alcun motivo per preferire come valori singolari dei numeri interi e, tra l'altro, per ottenere n cifre significative è necessaria una moltiplicazione per 10^n. Infatti l'istr. rand() di matlab genera un numero decimale con un bel po di cifre significative. Ma se si annida quest'istruzione in round cioè ad esempio round(rand(1,1)) si ottiene un numero che è solo 0 oppure 1. Per ottenere un intero con una sola cifra significativa si dovrà fare round(rand(1,1)*10); con 2 cifre significative round(rand(1,1)*100) e così via. Insomma mi è sembrato inutile appesantire il listato...