risoluzione Ax=b a due e tre incognite

Abbiamo provato a svolgere l'esercizio assegnato a lezione.
Abbiamo trovato le soluzioni di Ax=b (a due incognite, quindi con la matrice A quadrata) una volta con il comando inv e una volta facendo uso del backslash " \ " :

>> A=[2 5; 1 -3]

A =

    2     5
    1    -3

>> b=[4;5]

b =

    4
    5

>> x=inv(A)*b

x =

   3.3636
  -0.5455

>> c=A\b

c =

   3.3636
  -0.5455

I risultati coincidono, quindi tutto ok.

Risolvendo Az*xz=b (ovvero inserendo l'incognita z, e quindi con A matrice 2 x 3) i risultati non coincidono: infatti non si può fare l'inversa della matrice A, non essendo quadrata, pertanto matlab ci restituisce un errore. Invece, inaspettatamente, tramite il comando backslash matlab ci dà come soluzione un vettore colonna xz di tre componenti di cui la prima è zero:

>> Az=[2 5 -7; 1 -3 10]

Az =

    2     5    -7
    1    -3    10

>> b=[4; 5]

b =

    4
    5

>> xz=inv(Az)*b
??? Error using ==> inv
Matrix must be square.

>> xz=Az\b

xz =

        0
   2.5862
   1.2759


Luigi Taffuri
Bernard Bianconi

non così "inaspettatamente" poiché un sistema di 2 equazioni in 3 incognite ha infinite soluzioni.
Inoltre se date un'occhiata all'help di matlab con l'istruzione "help \" si capisce anche che soluzione ha trovato (ma di questo ne parleremo diffusamente durante il corso).
Piuttosto verificate che il valore di xz trovato sia effettivamente una soluzione del sistema assegnato
Az . xz = b

si, in effetti anche senza dare un'occhiata all'help, mi ero andato a risolvere manualmente il sistema e a imporre x=0, i risultati erano proprio gli stessi del vettore colonna xz. E' quindi chiaro che, tra le infinite soluzioni di un sistema a due equazioni in tre incognite, matlab sceglie la soluzione che si trova ponendo la prima incognita uguale a zero.
Risulta quindi anche verificata l'equazione Az * xz = b