esercizio ruote che rotolano senza strisciare

In questo esercizio per ricavare le forze generalizzate associate a ciascuna coordinata dello spazio di configurazione non ho usato la trasformazione che sfrutta l'inverso dello jacobiano della matrice di trasformazione delle coordinate, ma le ho ricavate attraverso delle considerazioni fatte sui piani inclinati. Che ne pensate?

scusate c'è stato un problema nel caricamento delle immagini provvedo subito

scusate ho dimenticato di ruotarle

Io penso che sia un modo di approcciare il problema molto convincente, proverò a farlo anche io così, in questo modo se trovo qualcosa che potrebbe essere un po' diverso ne parliamo.

Pasquale quindi il vettore forza esterna ha componenti solo rispetto a psi?
Scegliendo come vettore di configurazione x1 y1 x2 y2, non semplifichiamo la risoluzione?

il problema è che se scegli questo vettore di configurazione poi come fai a modellare il fatto che il corpo rotola perchè ti ricordo che tu non hai soltanto una massa che trasla ma tale massa è concentrata nel punto G (per la simmetria è proprio il baricentro del corpo) che puoi assumere come origine del sistema di riferimento solidale al corpo che rotola senza strisciare sul piano inclinato, poi ricordati che più coordinate usi per modellare il sistema più semplice sarà scrivere le equazioni del moto(non vincolato), è chiaro che poi dovrai aggiungere qualche equazione di vincolo in più per completare il modello. Sarebbe interessante ricavare le forze generalizzate associate elle componenti attraverso l'equazione di trasformazione delle forze

Si indubbiamente ma dopo dobbiamo scrivere tante equazioni di vincolo in più quante sono le coordinate scelte in più rispetto alle coordinate necessarie per definire il moto, quindi sarà più complicato dopo.
Riguardo il rotolamento senza strisciamento è una condizione da considerare quindi hai pienamente ragione.

molto bene questa discussione...

Ciao Pasquale io penso che le componenti del vettore forza esterna generalizzato possono essere calcolate nel modo in cui hai fatto perchè è come se avessi proiettato il vettore forza esterna sugli assi dello spazio di configurazione caratterizzato dalle coordinate generalizzate. Potrebbero venire gli stessi risultati sfruttando le equazioni di trasformazione, se ci riesco ti aggiorno. Per il resto non mi è chiaro perchè hai fatto riferimento ai corpi rigidi dato che nell'esercizio riportato sul libro di riferimento i cerchioni uniformi sono privi di massa, forse hai generalizzato il problema?

Secondo i principi della dinamica di un corpo rigido la configurazione del sistema può essere descritta dalla posizione di un particolare punto del corpo rigido che può essere come nel nostro caso il baricentro G(nota in questo caso è semplice individuare il baricentro perchè il corpo gode di una forte simmetria geometrica ) e dall'orientamento del corpo. Possiamo in altre parole scrivere l'energia cinetica di un tale corpo mediante la somma di una parte dipendente dal moto di G e di una dipendente dal moto del corpo relativo a G o meglio dalle rotazioni della terna solidale al corpo intorno a G. Tutto questo perchè nello studio di un sistema meccanico può essere conveniente sostituire un corpo rigido con un insieme di masse concentrate(o con una massa concentrata) che sia dinamicamente equivalente al corpo in esame. Due corpi rigidi sono dinamicamente equivalenti se sottoposti allo stesso sistema di forze ,qualunque esso sia ,presentano la stessa legge del moto. E si dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinchè due sistemi rigidi siano dinamicamente equivalenti è che essi abbiano la stessa massa, baricentri coincidenti e la stessa matrice d'inerzia di massa. Dunque nell'esercizio ho immaginato che il corpo "ruota" fosse equivalente al sistema costituito da un unico punto posto proprio sul baricentro del sistema in cui è concentrata tutta la massa(in realtà questo è già un dato del problema) . Per non violare il principio di equivalenza però devo tener conto della matrice d'inerzia di massa. Se ci pensi bene se io sostituissi il corpo rigido solo con la massa concentrata perderei delle informazioni sulla sua dinamica e per questo che devo ricordarmi di considerare la matrice di inerzia. Spero di essere stato chiaro nik

Ragazzi probabilmente ho trovato un errore nell'esercizio da me fatto: il vincolo che esprime il rotolamento senza strisciamento di un disco su una guida fissa è olonomo. Quindi basta una coordinata per individuare la posizione di un disco che rotola senza strisciare su una guida fissa. Immagino per semplicità di mettermi su una guida parallela all'asse x (non inclinata come nell'esercizio) e di scegliere proprio le due coordinate Lagrangiane xg θ(angolo di rotazione) già sappiamo che l'equazione che esprime il vincolo di rotolamento senza strisciamento è

v - ωr=0
v=ωr
che integrata(perchè si può integrare) è
x=θr + cost
Fortunatamente a noi non interessa sapere se le equazioni sono integrabili o meno però ho pensato che da un punto di vista fisico fosse importante fare questa precisazione ossia che l'ipotesi di rotolamento senza strisciamento toglie un grado di libertà al sistema ed è quindi possibile stabilire univocamente oqni posizione possibile del sistema attraverso un unica coordinata indipendente.

Perché il rotolamento senza strisciamento pone restrizioni alle coordinate?

Si infatti come puoi vedere è banalmente integrabile, quindi oltre a imporre delle limitazioni alle velocità possibili rappresenta anche una relazione tra le coordinate dello spazio di configurazione

Quindi di conseguenza il sistema ha solo 1 gdl?

si

Perfetto
Quindi dato che per il sistema sono state scritte 6 equazioni di vincolo, di conseguenza 1 sarà dipendente. Probabilmente sono proprio quelle che tengono conto della rotazione ad essere dipendenti.

Sono d'accordo con Pasquale ed in particolare sul fatto che il numero di gradi di libertà del sistema sia pari a 1. Infatti l'equazione di vincolo non olonomo (in realtà ce ne sono due ma dipendenti tra loro) è integrabile e quindi pone restrizioni anche sulla posizione del sistema, riducendone il numero di gradi di libertà (ricordo che abbiamo chiamato questo tipo di vincolo "semi-olonomo").

Avrei 2 dubbi:
1) Visto che l'ipotesi che viene fatta è "cerchioni privi di massa" e non "massa dei cerchioni concentrata nel loro baricentro" possiamo ritenere nulli i momenti di inerzia di massa dei due cerchioni rispetto ai propri assi di rotazione?

2) Quando scriviamo le equazioni di vincolo non olonomo, possiamo considerare direttamente le componenti della velocità del "baricentro" nella direzione del piano inclinato? Riporto, per esempio, la prima delle due equazioni con la seguente immagine:

In effetti io ho fatto solo considerazione dinamiche(non è possibile che i cerchioni siano privi di massa), però se ci pensi per scrivere l'equazione di vincolo sul rotolamento senza strisciamento vai a considerare la rotazione il che significa che la coordinata sulla rotazione fa parte del tuo spazio di configurazione e se fa parte del tuo spazio di configurazione deve essere i grado di scrivere l'energia cinetica in termini anche dell'angolo di rotazione e quindi scrivere le equazioni del moto in termini anche dell'angolo di rotazione altrimenti rischieresti di avere più equazioni che incognite e quindi nessuna soluzione. Ergo non è possibile per come è impostato il problema escludere i momenti d'inerzia di massa. Riguardo alla seconda domanda io ho fatto proprio così perchè sqrt(x^2+y^2) (chiaramente con i punti) è il modulo della velocità in direzione del piano inclinato

Sono d'accordo: se consideriamo le coordinate sulla rotazione (e va fatto per non perdere l'informazione che ci fornisce il vincolo semi-olonomo), bisogna scrivere anche il termine cinetico associato a tali coordinate. A questo punto, per non annullare quel termine, possiamo calcolare il momento di inerzia di massa di ciascun cerchione rispetto al proprio asse di rotazione come I=(1/2)m*r^2, una volta con m1 e una volta con m2.

Salve ragazzi, avrei un dubbio legato all'espressione dei due vincoli semi-olonomi. Non mi è chiaro, infatti, il perché dovremmo rappresentare le componenti della velocità del baricentro dei due cerchioni in direzione del piano inclinato. Dalla discussione mi pare di aver capito che si sia scelto come vettore di configurazione quello contenente, tra le altre, le coordinate cartesiane del baricentro dei due cerchioni rispetto il sistema di riferimento Oxy. Operando tale scelta, dunque, quando scriviamo le due espressioni di vincolo semi-olonomo non dovremmo riferirci alle coordinate cartesiane rispetto a tale riferimento? Avevo pensato che la scelta di rappresentare le componenti della velocità del baricentro nella direzione del piano inclinato avesse più senso nel caso in cui si fosse operata una rotazione del sistema di riferimento Oxy di un angolo di (π/2 - φ), in modo da far coincidere l'asse x con la direzione del piano inclinato (chiamiamolo x') e l'asse y nella nuova posizione (y'), ovviamente ad esso ortogonale.

Spero di essere stato chiaro nella formulazione del problema