Dimostrare che qualunque sia A una matrice mxn, mp(A'A)= mp(A)*mp(A') , mp(A(mp(A)))=A*mp(A) , mp(mp(A)*A)=mp(A)*A:
L'esercizio è stato risolto sia "manualmente" che in MATLAB
>> %Dimostrare che qualunque sia A una matrice mxn mp(A'A)= mp(A)*mp(A')
>>
>> %Data matrice random 3x4
>> %(Riprendendo lo scorso argomento di discussione del forum)
>> A = randi([-10,10],3,4)
A =
10 -8 6 -10
0 -2 10 7
6 9 3 9
>> %A' la sua trasposta
>> A'
ans =
10 0 6
-8 -2 9
6 10 3
-10 7 9
>> %Calcoliamo mp(A'*A)
>> B=A'*A
B =
136 -26 78 -46
-26 149 -41 147
78 -41 145 37
-46 147 37 230
>> %Dato che le dimensioni di A' sono 4x3 e di A sono 3x4 otteniamo una matrice 4x4
>> C=pinv(B)
C =
0.0074 0.0039 -0.0013 -0.0016
0.0039 0.0044 -0.0028 -0.0002
-0.0013 -0.0028 0.0046 0.0019
-0.0016 -0.0002 0.0019 0.0026
>> %Adesso verifichiamo l'uguaglianza col termine a destra. Calcolando mp(A)*mp(A')
>> D=pinv(A)
D =
0.0512 -0.0321 0.0614
-0.0111 -0.0386 0.0530
0.0182 0.0656 -0.0019
-0.0291 0.0381 0.0179
>> E=pinv(A')
E =
0.0512 -0.0111 0.0182 -0.0291
-0.0321 -0.0386 0.0656 0.0381
0.0614 0.0530 -0.0019 0.0179
>> F=D*E
F =
0.0074 0.0039 -0.0013 -0.0016
0.0039 0.0044 -0.0028 -0.0002
-0.0013 -0.0028 0.0046 0.0019
-0.0016 -0.0002 0.0019 0.0026
>> %Otteniamo sempre una matrice 4x4 e verifichiamo l'effettiva uguaglianza sottraendo F a C.
>> G=C-F
G =
1.0e-017 *
-0.1735 0.3469 -0.8240 0.2602
0.0867 0.1735 -0.6072 0.2168
-0.3036 -0.1735 0.8674 0.1084
0.1084 0.1084 0.3686 0.1301
>> %L'uguaglianza è stata dimostrata!
>> %Dimostrare mp(A(mp(A)))=A*mp(A)
>> H=pinv(A*(pinv(A)))
H =
1.0000 0 0.0000
0.0000 1.0000 -0.0000
-0.0000 0.0000 1.0000
>> I=A*pinv(A)
I =
1.0000 -0.0000 0.0000
0 1.0000 0.0000
0.0000 -0.0000 1.0000
>> %Verifica
>> L=H-I
L =
1.0e-014 *
0.0444 0.0222 -0.0139
0.0000 0.1110 -0.0444
-0.0222 0.1055 0.0666
>> %Verificato
>> %Dimostrare che mp(mp(A)*A)=mp(A)*A
>> M=pinv(pinv(A)*A)
M =
0.8798 0.2073 0.1702 -0.1839
0.2073 0.6425 -0.2935 0.3172
0.1702 -0.2935 0.7590 0.2604
-0.1839 0.3172 0.2604 0.7186
>> N=pinv(A)*A
N =
0.8798 0.2073 0.1702 -0.1839
0.2073 0.6425 -0.2935 0.3172
0.1702 -0.2935 0.7590 0.2604
-0.1839 0.3172 0.2604 0.7186
>> O=M-N
O =
1.0e-014 *
0 0 0.0056 0.0111
-0.1138 0.2776 0.1277 -0.1832
0.1360 -0.2665 -0.0999 0.2442
-0.0083 0.0555 0.0555 0.0111
>> %Verificato
Realizzato da Nicola D'Angelo & Pasqualino Carusone
