Moto rigido Piano-Polari-Profili coniugati

1) Esercizio Punto 1.

Il moto del corpo rigido in esame è composto da una successione di 8 moti rotatori nell'intervallo [0;Tf] ,si vuole conoscere il tempo finale Tf. La lunghezza dello spostamento del corpo dal punto 0 a 8 sul piano F considerando tutti i moti di puro rotolamento equivale al perimetro del corpo preso in esame (un ottagono).Quindi il tempo che il corpo impiega a raggiungere la posizione finale con una velocità angolare di pgreco/8 rad/s corrisponde al periodo di rotazione intorno al suo asse 2pgrecof=pgreco/8 rad/s ==> f=0.06 Hz ==> T=16

Spero di essere stato chiaro ...ragazzi se ci sono degli errori o un'esposizione non chiara segnalatelo,fatemi sapere come avete risolto gli altri punti del problema .

quest'immagine realizzata con SolidWorks dovrebbe rappresentare una successione di spostamenti del segmento che all'istante iniziale si trova orizzontale. Non è molto chiara quindi di seguito riporto le immagini sia delle posizioni del segmento che le traiettorie degli estremi e del punto medio (più che traiettorie dovrei dire la successione delle posizioni occupate per spostamenti in intervalli finiti di tempo).


L'immagine seguente è la successione delle posizioni occupate dal segmento.
Questi sono gli spostamenti degli estremi del segmento (si nota quindi gli spostamenti del centro dell'ottagono).
Qui invece ci sono gli spostamenti del punto medio.
Per quanto riguarda il tempo per compiere un intero giro, concordo con i 16 secondi trovati dal mio collega.
Volevo far notare che se l'ottagono all'istante iniziale si trova con solo il vertice in contatto con la curva fissa (come nel nostro caso), la prima rotazione sarà una rotazione attorno a questo vertice di pi/8; con tale rotazione infatti il secondo vertice raggiungerà la curva fissa e l'intero lato dell'ottagono sarà a contatto con la curva fissa. E quindi in totale saranno 9 moti rotatori, di cui il primo e l'ultimo comportano uno spostamento angolare di pi/8 mentre gli altri 7 moti rotatori saranno di pi/4. Non vorrei aver detto una cavolata, quindi aspetto un'eventuale correzione e chiarimenti.

In effetti i moti rotatori dovrebbero essere 9 anche perchè ci sono 9 centri di rotazione da 0 a 8 appunto.

Apprezzo innanzitutto la buona volontà di chi è intervenuto e lo ringrazio.

Cercate però di rispondere alle domande che vi sono state poste. Mi sembra che siano molto precise.

Per esempio cercate di rispondere per bene alla domanda n.2 . Se vi sono 9 moti rotatori allora ognuno avrà il SUO centro di rotazione, il SUO angolo di rotazione: specificateli ... e quindi forse vi accorgerete che dire "il tempo per compiere un intero giro" non dice chi compirebbe questo giro... ma c'è qualcuno che compie un giro ???

Inoltre il fatto che la rulletta sia un ottagono è puramente incidentale. Quel poligono è semplicemente una curva del piano mobile che rotola su un'altra, detta base, del piano fisso senza strisciare definendo cosi il moto di qualsiasi punto del piano mobile sul piano fisso come ad esempio i punti P1 e P2.

Cercate di spiegare a parole le costruzioni geometriche che avete effettuato.

Ancora grazie.

Direi quindi che solo il punto 0 appartenente alla rulletta compie un giro completo che lo porta a finire nel punto 8 alla fine del moto.Il primo moto rotatorio ha come centro di rotazione il punto 0. Questo primo moto rotatorio, poichè la velocità è pi/8 rad/s e l'angolo da percorrere per far coincidere il successivo vertice della rulletta con la base è di pi/8, dura 1 secondo.
Con questo primo moto il punto 1 sulla rulletta si sarà portato sul punto 1 della base. Il punto 1 sulla base sarà il nuovo centro di rotazione per il secondo moto rotatorio. A differenza del primo, questo secondo moto durerà 2 secondi poichè l'angolo da percorrere affinchè il punto 2 della rulletta finisca sul punto 2 della base è pi/4.

Lo stesso varrà quindi per il terzo moto rotatorio che quindi avrà come centro di rotazione il punto 2 sulla rulletta. Tutto uguale fino all'ultimo moto rotatorio ovvero il nono che avrà come centro di rotazione il punto 8 sulla base. Questo moto, come il primo, durerà 1 secondo perchè in pratica l'ottagono che parte con un lato completamente adagiato sulla base, dovrà ruotare di un angolo pari a pi/8 per portare il centro sulla verticale passante per il punto 8.
Per quanto riguarda quel qualcosa che compie un giro, credo che quest'altra immagine possa essere utile:

Anzi vorrei correggermi, in realtà il poligono (quindi tutti i punti del poligono nel piano mobile) compiono una rotazione completa attorno al centro dell'ottagono. Ovviamente quindi la rotazione di un angolo giro la compiono tutti i punti appartenenti al piano mobile. Mentre nel piano fisso la traiettoria dei punti dell'ottagono è una cicloide.

Non so se è per un errore mio, ma mi sembra che se considero la traiettoria di un punto del piano mobile e considero tale traiettoria solidale alla curva fissa, il profilo coniugato a tale curva (cioè alla traiettoria) che sia inoltre solidale al piano mobile, si riduce al solo punto. Infatti facendo ruotare la curva mobile, il punto di partenza occuperà tutte le posizione sulla curva solidale(traiettoria) alla curva fissa

Buongiorno a tutti
Siamo Tallone Antonio e Spigapiena Giuseppe. Stavamo provando a risolvere anche noi l'esercizio proposto.

Ogni moto è un moto rotatorio con centro di istantanea rotazione che occupa la stessa posizione del punto di contatto tra poligonale fissa e mobile. In realtà, essendo poligonali, esistono istanti in cui un intero segmento della poligonale mobile va a sovrapporsi ad un segmento della poligonale fissa.
I moti sono 8 di cui :
- nel primo l'angolo descritto da una generica retta solidale con la poligonale mobile è di 23° = 0.40 rad per cui, essendo |ω| = Π/8 s^-1 e che Δt = α/ω dove α è l'angolo descritto dalla suddetta retta, si ha che il primo moto dura t1-to = 1.02 s
- negli altri 7 la durata coincide, l'angolo descritto è 45° = Π/4 rad pertanto la durata è di (Π/4 )/( Π/8 ) = 2 s

La durata totale della successione è di: 15.02 s

Per trovare gli angoli abbiamo utilizzato autocad (per la prima volta a dire il vero) e il file fornitoci dal Professore. Riportiamo un immagine in cui vi sono le 8 posizioni occupate dalla poligonale mobile. In particolar modo abbiamo evidenziato con una poligonale rossa la "traiettoria" del punto P2 della poligonale mobile nel piano fisso. In realtà non è a rigore esatto dire traiettoria in quanto stiamo considerando tempi finiti e quindi abbiamo una poligonale e non una curva. Riportiamo di seguito l'immagine esportata da autocad:




Per la poligonale con vertici le posizioni occupate dal punto P1, punto medio del segmento giallo evidenziato in figura, occorre unire i punti da esso occupati, non siamo riusciti a farlo con autocad in quanto, di sicuro per nostra ignoranza, non ci permette di selezionare le posizioni di P1 in modo da tracciare le linee.

Ci scusiamo per le imprecisioni, e chiediamo a chiunque riscontri degli errori di evidenziarli in modo tale da poterne discutere insieme e correggerli.

Spigapiena Giuseppe
Antonio Tallone

[left]

Peppe, comunque l'angolo non è 23 ,a 22,5 e quindi pi/8 quindi il primo moto dura 1 secondo. comunque è una sottigliezza. Affinchè il punto della poligonale mobile che all'istanza iniziale si trova a contatto con la poligonale fissa, torni a contatto con la poligonale fissa, bastano 8 moti rotatori, di cui il primo dura 1 secondo. Ma affinchè anche gli angoli tra i segmenti della poligonale mobile tornino gli stessi con i segmenti della poligonale fissa, allora è necessario un nono moto rigido che dura anche questo 1 secondo. E quindi in totale ci troviamo con un moto complessivo che dura 16 secondi.

Per quanto riguarda il secondo esercizio, la rulletta impiega 56 secondi per compiere un giro completo della base e tornare quindi nella posizione iniziale. Il moto complessivo è una successioni di moti rotatori, per la precisione 21, attorno a centri appartenenti alla base. Il primo moto rotatorio si svolge attorno al punto di contatto iniziale e vede uno spostamento angolare di 31,5° (angolo trovato con solidworks)

Gli altri 19 moti rotatori invece descrivono angoli di 63° come si vede da questa immagine:

Mentre l'ultimo moto rotatorio che avviene attorno al primo centro di rotazione sulla base descrive di nuovo un angolo di 31,5°.
In totale quindi abbiamo uno spostamento angolare si 1260°. Poichè la velocità angolare è pi/8, otteniamo l'intervallo di tempo in cui si svolge l'intero moto che è 1260x8/180=56°.
Qui ci sono le posizioni occupate dal segmento e la successione degli spostamenti di un vertice e del punto P1:

Inoltre dopo un giro completo della rulletta sulla base, il punto 0 appartenente alla rulletta che all'istante iniziale si trova in contatto con la base, non tornerà in contatto con la rulletta. Nella posizione finale quindi non sarà più il punto 0 della rulletta a contatto con il punto 0 della base.
In questa immagine si vede come dopo un giro il punto 0 della rulletta si trovi nella posizione inizialmente occupata dal vertice opposto:
[url=https://servimg.com/view/17383713/16]
E quindi affinchè il punto 0 della rulletta torni in contatto con il punto 0 della base, la rulletta dovrà compiere due giri attorno alla base. Pensandoci bene se al posto di ottagono ci fosse una circonferenza che rotola su un'altra circonferenza (considerandoli due profili polari) quindi senza strisciare, allora l'unico punto che descrive una traiettoria circolare è il centro della circonferenza; sarebbe allora più corretto dire che il giro (o meglio l'angolo giro) è descritto completamete solo dal centro della circonferenza che rotola senza strisciare su un'altra circoferenza, almeno nel riferimento fisso.

Antonio per quanto riguarda l'angolo noi abbiamo caricato su autocad il file del Professore e da costruzione gli angoli risultano
23° a destra e 22° a sinistra per questo abbiamo scritto così.Per quanto riguarda il numero di moti noi seguendo la traccia nè
abbiamo considerati 8 però,come hai detto pure tu,affinchè il corpo ritorni nella posizione iniziale ci vuole un nono moto
rotatorio della durata di 0.98 s.Alla fine dipende dai punti di vista Grazie per aver risposto.

Antonio Tallone
Giuseppe Spigapiena

molto bene, mi pare che il forum cominci a servire per quello per cui è stato fatto.
Mi raccomando adesso di impegnarvi a risolvere il problema del tracciamento del profilo coniugati.
Nel file autocad che vi ho dato, immagino che avrete notato che attivando alcuni layer si visualizzano alcuni risultati. In particolar modo uno dei layer che si chiamano profconiug (o qualcosa del genere) è disegnato, per i primi punti della traiettoria di P1, il profilo coniugato nel moto rigido piano definito dalla coppia di polari assegnate (N.b.: forse ci sono 2 layer che hanno nomi simili
Ah dimenticavo: scaricate i nuovi file autocad [es1], [es2] per i due esercizi. Li ho aggiornati soltanto eliminando un layer "profiliconiug" in ognuno che erroneamente compariva nei files". Potete anche non scaricarli ricordandovi appunto che c'è un profilo coniugato sbagliato in quelli che avete già Scusate per l'inconveniente
Cercate di capire come è stato disegnato ed anzi provate a risolvere il problema inverso e cioè cercate di trovare le polari corrispondenti al moto di rotolamento con strisciamento dei profili coniugati...(oddio forse per adesso questo è un po troppo).

Ma oltre Antonio Cilindro, Davide Del Pozzo, Antonio Tallone e Giuseppe Spigapiena,

gli altri che fine hanno fatto ?

Tyler91

vedendo la figura da rappresentata parlo di quella che vengono rappresentate due circonferenze una sull'altra e penso che il moto sia epicicloide essendo che le due traiettorie polari sono tangenti esternamente.

Ma infatti il moto di un qualsiasi punto della circonferenza che rotola descrive un traiettoria epiciclodale, mentre il centro della circonferenza che rotola, ovviamente resta alla stessa distanza dal centro della circonferenza fissa e quindi quel punto descrive una traiettoria circolare.

Attenzione, non è il moto che è epicicloidale.
E' la traiettoria di un punto della rulletta che è un'epicicloide (cioè il luogo delle posizioni occupate da tale punto nello spazio fisso è una curva che si dice epicicloide) se la rulletta è una circonferenza che rotola esternamente su un'altra crf che è la base.

Ho qualche dubbio sul profilo coniugato alla traiettoria del punto P1. Infatti la curva che si prende per calcolare il relativo profilo coniugato deve rispettare la condizione che le normali in ogni punto della curva passano per il centro di istantanea rotazione che nel nostro caso si traduce nel fatto che le normali in ogni punto alla traiettoria del punto P1 devono incontrare sempre una delle polari. Nel caso della traiettoria questo accade solo con il profilo fisso (base) e quindi dovremmo considerare la traiettoria come curva solidale alla base e il relativo profilo coniugato dovrà invece essere solidale alla curva mobile (rulletta). Provando a risolvere in questo modo mi ritrovo che il profilo coniugato coincide con il punto P1, infatti quando la rulletta rotola, il punto P1 solidale alla rulletta è sempre in contatto con la traiettoria (essendo la traiettoria appunto).
Nel caso in cui volessi considerare la traiettoria solidale al profilo mobile e quindi trovare la curva coniugata solidale al profilo fisso, dovrei considerare solo la parte di traiettoria che gode della proprietà su accennata, ovvero la parte di curva per i cui punti passano le normali che incontrano il profilo mobile. Il risultato è il seguente (salvo errori). Ho notato anche che le normali alla traiettoria incontrano il profilo mobile in due punti.

Dall'immagine si vedono i 2 punti che ho considerato sulla traiettoria a cui corrispondono 4 punti di intersezione delle normali per questi punti con la rulletta e quindi ottengo 4 punti per la curva coniugata.
Spero di non aver scritto troppe sciocchezze.

io penso che i punti siano 5 guardando l'immaggine.
vi ringrazio anticipatamente

mi scusi ma io da quello che dice e da come lo rappresenta non ci capisco molto, anche perché come vi ho detto, non credo che solidworks sia lo strumento migliore per questo tipo di disegni, tipicamente bidimensionali.
Provi a seguire il mio ragionamento per il
tracciamento del profilo coniugato alla traiettoria di P1 nel moto rigido piano definito dal rotolamento delle polari assegnate
(faccia bene attenzione alla frase in rosso che dovrebbe essere una chiara esplicitazione del problema da risolvere).
Si consideri la traiettoria del punto P1, che sarà a sua volta una poligonale, i cui vertici, diciamoli in sequenza, P1, P1_1, P1_2, P1_3, P1_4, P1_5, P1_6, P1_7.

1. si consideri lo spostamento del tratto P1_1...P1_7 solidalmente alla rulletta quando questa rotola sulla base ruotando intorno al primo Ct=0 del solo primo angolo;


2. quindi si consideri lo spostamento del solo tratto P1_2...P1_7 solidalmente con la rulletta quando questa rotola sulla base ruotando intorno al secondo Ct=1 del secondo angolo;


3. e così via si consideri lo spostamento del tratto P1_3...P1_7 solidalmente con la rulletta quando questa rotola sulla base ruotando intorno al terzo Ct=2 del terzo angolo;

Iterando la procedura sino al tratto P1_6..P1_7, si otterrà una nuova poligonale che, per ogni posizione della rulletta, ha sempre un vertice a contatto con uno della traiettoria di P1 con la relativa normale durante il moto (definito dal rotolamento della rulletta sulla base).

Grazie e scusate per la confusione che ho fatto, ora è tutto chiaro e questo è quello che ho trovato

Sfruttando lo stesso procedimento anche per il secondo esercizio si ottiene:

molto bene, sono contento.
Osservi il fatto che le lunghezze dei lati del profilo coniugato sono diverse da quelle da quelle a cui questo viene a contatto sulla traiettoria del punto P1, indice del fatto che c'è strisciamento durante il moto rigido piano definito dalle polari.

Adesso, e lo dico soprattutto perché lo risolva qualcun altro, risolvete il problema seguente:

Assegnato il moto rigido piano mediante una coppia di profili coniugati poligonali (per esempio proprio quelle che avete trovato come risultato dell'esercizio precedente), supponendo che il "singolo" moto rigido durante il quale siano a contatto due lati delle poligonali coniugate avvenga a velocità angolare costante, trovare le polari del moto.

saluti

Ho provato a risolvere il problema seguendo questa strada:
Ho preso il primo profilo coniugato è l'ho fatto rotolare sul secondo, trovando i centri di rotazione per i singoli moti rotatori. Ho fatto lo stesso anche con il secondo profilo su primo e ho trovato due poligonali, di seguito allego i passaggi.
Questi erano i profili coniugati di partenza del primo esercizio:
Per prima cosa ho trovato il centro della prima rotazione come intersezione degli assi relativi al primo lato delle due poligonali:
Trovato il centro di rotazione ho fatto ruotare la prima poligonale attorno a questo punto e nella nuova posizione ho trovato il centro della seconda rotazione:

Iterando ho trovato tutti i centri che uniti mi danno la seguente poligonale:
Ripetendo il procedimento facendo rotolare la seconda sulla prima ottengo l'altra poligonale:

Ora non so se il procedimento è giusto, ma queste due curve passano per i centri di rotazione relativi ai moti deli profili coniugati, inoltre i segmenti hanno le stesse lunghezze quindi se fisso una delle poligonali trovate, l'altra rotola su questa fissa senza strisciare.
Attendo il giudizio e la correzione.
P.S. la seconda poligonale ha meno lati perchè mi sono fermato nell'iterazione del procedimento su descritto.

Salve.
Abbiamo provato a risolvere il problema della ricerca delle polari assegnata una coppia di profili coniugati. La coppia di profili coniugati è quella ottenuta dal punto 4 dell'esercizio 002 mostrata in figura (abbiamo considerato soltanto 6 dei 20 moti rotatori in quanto il procedimento è iterativo):

Scegliamo come profilo fisso la poligonale rossa, come profilo mobile la blu. Troviamo il centro di rotazione considerando che la normale ai profili coniugati deve passare per esso:

Facendo ruotare il profilo mobile attorno al centro trovato, e iterando di volta in volta lo stesso procedimento rispetto ai vari centri di rotazione, otteniamo la poligonale che passa per essi:

Ci scusiamo per eventuali errori.

Antonio Tallone
Giuseppe Spigapiena

Con lo stesso procedimento, stavolta invertendo il ruolo dei profili coniugati ovvero scegliendo come profilo fisso quello in blu e mobile quello in rosso, otteniamo l'altra polare:



Il moto tra le due polari è rotolamento puro, infatti le lunghezze dei lati delle poligonali sono uguali. Dalle immagini dovrebbe essere chiaro nonostante siano zoomate in modo diverso.
Ringraziamo anticipatamente per la vostra partecipazione all'argomento.

Giuseppe Spigapiena
Antonio Tallone