spazio fisico, posizioni possibili e spazio di configurazione di un pendolo piano

Salve, io e il mio collega abbiamo provato ad inserire, in un programmino per grafici di funzioni matematiche,un po per curiosità,, i dati riferiti al problema del pendolo piano.



tenendo presente quindi, un pendolo piano, cioè un punto materiale (corpo dotato di massa di dimensioni infinitesime) che può muoversi mantenendosi a distanza costante da un punto fisso O e nel piano xy, scelta opportunamente una terna di valori che mi possano descrivere tutti i punti dello spazio fisico,
descrivo la posizione X=[x y t]^T . Vedo, come detto in aula, che le posizioni possibili, in quel sistema di coordinate, sono quelle appartenenti ad una circonferenza di raggio l (nell'esempio sotto l= 3 giusto per inserire qualche valore numerico)

In uno spazio di configurazione invece, prendendo una terna di assi ortogonali nominati [x y t], non posso associare un qualsiasi punto dello spazio di configurazione ad una posizione possibile, ma ci sono delle equazioni di vincolo da dover soddisfare, da associare a  X=[x y t]^T
x=l sin(t)
y=l cos(t)

per l=3 , inserendo i dati su un programma freewere come winplot si ottiene questa curva, che è una curva particolare, data dalla considerazione delle due equazioni,
di cui sopra, che sono le equazioni parametriche di un'elica avvolta intorno ad un cilindro con raggio l e con asse, proprio l'asse t passante per l'origine.
impostato un passo pari a z=0,6t per semplicità geometrica si ottiene questo spazio di configurazione

scusate, mi accorgo solo ora del vs. intervento sul forum.
apprezzo molto che abbiate preso l'iniziativa .
vorrei dirvi qualche cosa per chiarirci.
Innanzitutto in qualsiasi intervento facciate sarebbe bene che inizialmente chiariste a chi vi legge (e quindi ancor prima a voi stessi) cosa volete fare.

Immagino, ma non vorrei sbagliarmi, che in questo caso volevate (usando un programmino di grafica) tracciare la "traiettoria" in un certo spazio di configurazioni, del moto di un pendolo anzi a dire il vero soltanto dell'insieme delle posizioni possibili.

Ora attenzione perché lo spazio di configurazione è fatto da coordinate e non comprende quindi il tempo t (o comunque il parametro cioè la variabile che si fa variare arbitrariamente facendo evolvere il sistema). Pertanto la curva che avete tracciato non è in uno spazio di configurazione (bensì nello spazio del moto del sistema che avete supposto avvenga con una variazione della coordinata z che, se il pendolo puo muoversi solo nel piano xy ...)

Insomma nello spazio xyz la traiettoria deve verificare le due equaz. di vincolo x^2+y^2=l^2 e z=0 ed è quindi una crf che sta nel piano xy.

Nello spazio xy la traiettoria deve verificare la sola equaz. di vincolo x^2+y^2=l^2

Provate a dire quali equaz deve verificare o meglio qual'è il luogo delle posizioni possibili del pendolo semplice nello spazio [rho, theta] (coordinate polari) e a rappresentarle con il vs programmino.

Salve a tutti sono Giacomo Belgiorno provo a rispondere al quesito esposto.

Ci si chiede di determinare il luogo delle posizioni possibili del pendolo piano considerando lo spazio di configurazione di coordinate [rho, theta].

Consideriamo un pendolo piano: un punto materiale P (un corpo dotato di massa m e di dimensioni infinitesime) che si muove mantenendosi a distanza costante pari a l da un punto fisso O, rappresento il pendolo piano in uno spazio fisico di coordinate [x,y].

Prima di determinare il luogo delle posizioni possibili del mio sistema nello spazio di configurazione di coordinate [rho, theta], bisogna verificare:

- se ad ogni posizione fisica di P corrisponde una coppia di rho e theta:
la risposta è affermativa in quanto ad ogni posizione fisica di P posso far corrispondere una coppia di valori [rho,theta], quindi il sistema di coordinate scelto mi è sufficiente ad individuare ogni posizione possibile del punto P.

- Poi dobbiamo chiederci se ad ogni coppia di valori rho e theta corrisponde una posizione fisica del punto P:
la risposta è no, perché non posso scegliere arbitrariamente una coppia di valori rho e theta e far corrispondere una posizione fisica del punto P, cioè non posso scegliere come voglio rho e theta ma rho deve essere tale da verificare la seguente relazione rho=l, mentre theta può assumere qualunque valore.

Quindi ho una sola equazione di vincolo da rispettare: rho=l nello spazio di configurazione [rho,theta].

Il nostro sistema in questo spazio di configurazione è vincolato e il ngdl=1

L’insieme delle posizioni possibili nel nostro spazio di configurazione [rho,theta] è il luogo dei punti di una retta che ha rho=l mentre theta può assumere qualunque valore.

Mi scuso per la rappresentazione ma non ho usato nessun programma particolare, ho utilizzato solo un programma di disegno, inoltre mi scuso per eventuali errori commessi.

molto bene, sia la spiegazione che la terminologia usate.