determinazione dell' asse fisso(teoria delle rotazioni)

Sia R la matrice di rotazione passiva sappiamo che vale questa relazione

r'=R(Trasposto)*r=S*r

le componenti di r e r' sono entrambe espresse nello spazio fisso.
Ora sappiamo che l'asse di rotazione è quell'insieme di punti che sono fissi sia rispetto al riferimento fisso sia in particolare rispetto al riferimento mobile solidale con il corpo rigido. Dunque quando il corpo ruota i punti dell'asse soddisfano la relazione r'=r in cui le componenti di quest vettori sono valutate nel riferimento fisso(frase presa dal libro). Ora se vado a sostituire la relazione precedente dovrei ottenere la relazione

S*r=r o R(trasposto)*r= r

mentre sul libro riporta questa relazione

R*r=r

la quale indicherebbe che le componenti del vettore indicante l'asse di rotazione ha le stesse componenti nel riferimento fisso e nel riferimento mobile ruotato da R (mi sembra strano). Dunque il mio dubbio è :perchè se viene premesso che le componenti di r ed r' sono quelle del riferimento fisso successivamente viene presa in considerazione la matrice di rotazione passiva la quale mi da le componenti del vettore in un nuovo riferimento ruotato. Insomma quando ci riferiamo all'asse fisso noi mettiamo in gioco il fatto che questo asse rimane fisso rispetto ad una rotazione attiva dei punti solidali al corpo rigido e dunque l'equazione più logica sarebbe Sr=r se non che è anche quella che rispetta la sostituzione.Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio

Evidentemente è un errore ( probabilmente di stampa) del libro, perché la relazione giusta è quella in cui si ha Sr=r, infatti è proprio poi dall' equazione caratteristica degli autovalori e degli autovettori di S che si ricava l' asse intorno a cui avviene la rotazione.

Pasquale, ricordando bene però il libro mo sembra che con R indichi le matrici di rotazione attiva; comunque in questo caso è sicuramente la matrice di rotazione attiva che ci ha permesso di ottenere r' a partire da r espresso nel sistema di riferimento fisso.

R secondo me deve per forza essere la matrice di rotazione attiva perchè altrimenti non mi trovo, posso ammettere che sia
r'=R*r'
che se ci pensi è del tutto equivalente a r=S*r

Infatti, mi trovo perfettamente con te

nella prima parte della teoria delle rotazioni il libro indica con R la matrice di rotazione passiva e con S la matrice di rotazione attiva, quindi probabilmente l'errore è stato commesso dopo.

pasquale comunque sono d'accordo con te, infatti preso un vettore solidale al corpo, se resta immobile dopo la sequenza di rotazioni è l'asse di rotazione.
Noi consideriamo un generico vettore preso in riferimento alla terna fissa, solidale al corpo quando parliamo di rotazione attiva, quindi sarà un errore del libro.

Anche io credo sia un errore di stampa, in quanto è proprio dopo aver ruotato direttamente il corpo rigido (quindi ATTIVAMENTE) che ci accorgiamo che, per esempio, il vettore r'=Sr è ancora uguale a r (vettorialmente parlando) e quindi la sua direzione deve coincidere con quella dell'asse di rotazione del corpo rigido.

Controllando gli appunti, il professore a lezione ha detto che usiamo una rotazione attiva che però la chiamiamo R e non S, probabilmente è stato fatto per attenersi alla simbologia del libro.

Si è vero concordo con Luca il professore a lezione si riferì ad R ma disse che in realtà è una matrice di rotazione attiva